実効値について

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＜実効値の知識＞

2007/08/13 日記<実効値>

実効値

実効値（じっこうち, effective value, root mean square value, ''RMS'')は、交流電圧又は電流の値の表現方法の一種である。交流電圧を抵抗負荷に印加した場合に、ある電圧の直流を印加した場合とで平均電力が等しくなるときにこの交流は直流の印加電圧と同じ値の実効値をもつと定義される。交流電力の計算に使用される電圧・電流は普通は実効値で表される。電気抵抗成分を ''R'' (オーム|Ω)、加える電圧の瞬時値を ''v(t)'' (ボルト (単位)|V)、最大値を ''V_m'' (V)、実効値を ''V_e'' (V)、平均値を ''V_av'' (V)、流れる電流の瞬時値を ''i(t)'' (アンペア|A)、最大値を ''I_m'' (A)、実効値を ''I_e'' (A)、平均値を ''I_av'' (A)、電力#有効電力|有効電力の瞬時値を ''P(t)'' (ワット|W)、平均値を ''P_R'' (W)、交流の角速度（角振動数または角周波数）を ''ω'' (ラジアン|rad/秒|s)、周期を ''T'' とする。

正弦波交流の最大値との関係

有効電力の平均値は、電流と電圧の積の平均であるから電気抵抗と電流を使うと次のようになる。:

i(t) = I_m \sin \omega t

v(t) = R I_m \sin \omega t

P(t) = R I(t)^2 = R I_m^2 \sin^2 \omega t = R I_m^2 \frac{1}{2}\left(1 - \cos 2 \omega t\right)

周期関数であるので、1周期にわたって積分し周期 ''T'' で割り平均電力を求める。:

P_R = \frac{1}{T} \int_0^T R I_m^2 \frac{1}{2} \left(1 - \cos 2 \omega t \right) dt = \frac{R I_m^2}{2T}\left[t - \frac{1}{2 \omega}\sin 2 \omega t\right]_0^T

第二項は、''ωT'' = 2''円周率|π'' であるので、積分すると0となるので次のようになる。:

P_R = R\left(\frac{I_m}{\sqrt{2}}\right)^2

また、電圧で表すと次のようになる。:

P_R = \frac{1}{R} \left(\frac{V_m}{\sqrt{2}}\right)^2

よって、実効値と最大値の関係は次のようになる。:

V_e = V_m / \sqrt{2}

I_e = I_m / \sqrt{2}

また、最大値/実効値を波高率という。

正弦波交流の平均値との関係

電流と電圧の平均は、周期関数であるので、半周期にわたって積分し半周期 ''T''/2 で割り平均を求める。:

V_{av} = \frac{2 V_m}{T}\int_0^{T/2} \sin \omega t dt = \frac{2 V_m}{\omega T}\left[- \cos \omega t\right]_0^{T/2}

''ωT''/2 = ''π''であるので、次のようになる。:

V_{av} = \frac{2 V_m}{\pi} =\frac{2\sqrt{2} V_e}{\pi}

また、電流は次のようになる。:

I_{av} = \frac{2 I_m}{\pi} =\frac{2\sqrt{2} I_e}{\pi}

また、実効値/平均値を波形率という。

関連項目

平均値

交流 / 三相交流 - 単相交流 - 交流回路

電力 - 電力#有効電力|有効電力・電力#無効電力|無効電力・電力#皮相電力|皮相電力

電圧

電流

Quotation:Wikipedia - Article - History 　License:GFDL

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◆実効値についてピックアップ

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