イジング模型について

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＜イジング模型の知識＞

2007/08/29 日記<イジング模型>

イジング模型

イジング模型（Ising model、イジングモデルとも言う）：イジング（E. Ising、ヴェルナー・ハイゼンベルク|ハイゼンベルクの弟子）が、1925年に提案した模型（モデル）。ハイゼンベルク模型をより簡単化したもので、そのハミルトニアンは、:

H = - ({J \over 2}) \sum_{\left\langle i,j \right\rangle} \sigma_i \cdot \sigma_j

である。σ_iは（結晶）格子点i上のスピン。自由度は上向き(+1)と下向き(-1)のみである。Jは最隣接スピン間の相互作用によるエネルギー（交換相互作用エネルギー）である。

\left\langle i,j \right\rangle

は最隣接格子点のみ和を取ることを意味する。ここで、隣り合う格子点上のスピン同士が、お互い上向き(+1 × +1)または下向き(-1 × -1)の場合（スピンが平行）、

\, - {J/2}

、互いに逆向き（上向きと下向き：1 × -1または-1 × 1←スピン反平行）の場合、

\, {J/2}

となる。イジングの提案の段階で、一次元（格子系）での厳密な解は求められていた。その後、1944年オンサガー(L. Onsager)が二次元イジング模型の厳密解を求めた。この結果は、相転移現象の記述、理解のために大変重要な役割を果たしている。三次元に関しての厳密解は、2003年現在求められていない。厳密解が求められるのは、特殊な場合で多くの場合、平均場近似、繰り込み群、級数展開（低温展開、高温展開）の手法などと、これらを用いた数値計算手段を使って近似的に解かれる。この模型（モデル）は、合金の規則‐不規則（秩序‐無秩序）転移や、異方性の大きな磁性の問題などに適用されている。

量子力学

物性物理学

Quotation:Wikipedia - Article - History 　License:GFDL

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